Modelo Matemático
Notas Previas al Modelo
- A través de discusiones entre los CoviDetectives, deliberamos buscar un modelo más realista que el visto en sesiones.
- Nuestro modelo tiene componentes basados en un análisis hecho para Alemania en el artículo de Roch-Donsinomi, Glawion et al. (2020).
- Sin embargo, llevamos a cabo significativas modificaciones: en lugar de inferir ecuaciones diferenciales a partir de simplificaciones a f.d.p, a partir una cadena de Markov de tiempo continuo, nosotros hicimos las multiplicaciones mecánicas de la matriz de transición (con NumPy). Asimismo, alteramos los estados de transición para adecuarlos a México y empleamos cadenas de Markov discretas y no homogéneas.
- Para saber más sobre este fascinante tipo de cadenas de Markov, ver Cheng-Chi (1977) en las referencias o dar click en el nombre.
Iniciando con el modelo
Nuestro modelo se basa sobre una cadena de Markov de tiempo discreto que contiene cuatro estados de transición. Denotaremos por el conjunto \(S = {1,2,3,4}\) el conjunto de estados posibles
\(s_{ij} (t = 0) = 0\) para todo \(i = 1,2, ..., N_j\), para la j-ésima entidad federativa, donde \(N_j\) es la población total. Como México tiene 32 entidades federativas, \(j = 1, 2, ..., 32\).
Considerando los datos reportados por la Secretaría de Salud, lo más sencillo fue clasificar los \(N_j\) habitantes de una entidad en susceptibles (\(s = 1\)), enfermos (\(s = 2\)), recuperados (\(s = 3\)) y muertos (\(s = 4\)).
Notar que, si sumamos los números de personas por caso, el resultado da:
$$\sum_{r = 1}^{4} N_{rj} = N_j$$
En otras palabras, los estados forman una partición del conjunto de población de una entidad.
Grafo Dirigido
Podemos representar las relaciones entre estados usando un grafo dirigido donde se muestren las probabilidades de transicionar de un estado a otro. Por ejemplo, si hay mucha gente infectada, la probabilidad de pasar del estado 1 al 2 es alta. En el grafo, representamos cada estado por un nodo distinto con aristas cuyo sentido indican 10 de las \(2\times{4 \choose 2}+4 = 16\). El grafo es interactivo:
Suposiciones del modelo
(Y una breve explicación por si no te gustan las mates)
$$\pi_{21} = 0$$
En español:
No consideramos falsos positivos en nuestro modelo.
$$\pi_{32} = 0$$
En español:
No hay casos de personas que se enfermen más de una vez.
$$\pi_{34} = 0$$
En español:
Las personas que se recuperaron, no pueden morir por Covid-19.
$$\pi_{43} = 0$$
En español:
Los muertos no pueden estar recuperados
$$\pi_{42} = 0$$
En español:
Hasta dónde sabemos, la ciencia aún no puede resucitar gente.
$$\frac{dN_j}{dt} = 0$$
En español:
El número de habitantes por entidad es constante.
$$\frac{\partial \pi_{12}}{\partial \nu_j} = 0$$
En español:
Tasa de contagios no depende de la tasa de comorbilidades
$$\lim_{t \to \infty} \pi_{12} = 0$$
En español:
La pandemia (y los contagios) deben terminar.
$$\lim_{t \to \infty} \frac{N_3(t)}{\sum_{r=1}^3 N_r (t)} = \rho_{\infty}$$
En español:
La inmunidad de rebaño se logra con \(\rho_{\infty} \approx 2/3\) del mundo.
Grafo Dirigido (Continuación)
Las suposiciones de arriba nos permiten borrar todas las \(\pi_{rs}\) que sean iguales a cero. Notar que \(s_{ij} = 3\) y \(s_{ij} = 4\) corresponden a estados absorventes: una vez que se llega ahí, no se puede salir.
Cálculo de probabilidades \(\pi_{rs}(t)\)
Probabilidad de contagio
Como la población total es fija, es obvio que la probabilidad de contagiarse:
Disminuye
Cuando tenemos mucha más gente sana (puntos negros) que contagiar
Aumenta
Cuando tenemos más personas con la enfermedad (puntos verdes), pues es más probable encontrarse a uno
Disminuye
Cuando mucha gente ya se recuperó de la enfermedad (puntos azules) y se vuelven inmunes
Cada uno de estas características evidentes, podemos traducirlas al lenguaje de las matemáticas así:
$$N_1(t)^{-\alpha}$$
Si \(N_1\) aumenta, la probabilidad disminuye, pues el exponente es negativo. El parámetro \(\alpha\) otorga no-linealidad
$$N_2(t)^{\beta}$$
Si \(N_2\) aumenta, la probabilidad aumenta, pues el exponente es positivo. El parámetro \(\beta\) otorga no-linealidad
$$[\rho_{\infty}-\frac{N_3(t)}{N_1(t)+N_2(t)+N_3(t)}]^{\gamma}$$
Si la cantidad de casos históricos aumenta, la probabilidad disminuye, pues la expresión entre corchetes tiende a cero. El parámetro \(\beta\) otorga no-linealidad
$$\pi_{12} \approx N_1(t)^{-\alpha} \cdot N_2(t)^{\beta} \cdot \left[\rho_{\infty}-\frac{N_3(t)}{N_1(t)+N_2(t)+N_3(t)}\right]^{\gamma}$$
Si podemos calcular \(\pi_{12}\) entonces podemos calcular \(\pi_{11}\) por la condición de normalización de probabilidades, es decir, deben sumar todas 1
$$\pi_{11} = 1 - \pi_{12}$$
Probabilidades referentes al modo dos
Mientras que en el artículo alemán se introduce un parámetro extra, \(r\), que tiene que ver con la fracción de infectados silenciosos, nuestro estado 2 está repartido entre el 2 y 3 de ellos por la elección de ellos respecto a la clasificación de los estados. Por eso, tuvimos que idear una nueva manera de aproximar las probabilidades.
Hecho de la medicina: el promedio de recuperación es del orden de una quincena en la población general.
¡Hicimos algo ingenioso para resolverlo!
Para el paso discreto de tiempo, \(\tau\), elegimos un valor representativo que nos evitó muchos problemas al implementarlo en Python. Debido a la naturaleza exponencial de las curvas de recuperación asignamos \(\tau = \text{15 días}\).
Este valor es del orden de la constante del tiempo asociada a la recuperación. Por ello, podemos asumir un modelo simplificado donde el futuro de las personas, tras exactamente 15 días, se ve definido. Por ello, podemos aproximar \(\pi_{22}\approx 0\): en quince días (exactos), asumimos que el estado debe transicionar.
Finalmente, \(\pi_{24}\), una constante, se computa de manera muy sencilla: